Depuis Newton (1643 – 1727) et Leibnitz (1646 – 1716) les sciences ont bénéficié de l’invention mathématique du “nouveau calcul”, qu’on appelle aujourd’hui le calcul différentiel. Cette méthode permet d’avoir d’excellentes approximations, aussi fines que l’on veut, d’une fonction continue que l’on voudrait tracer à partir de points discrets (séparés).
Ainsi si l’on prend 3 points sur un plan, le développement d’ordre 1 consiste à tracer des segments entre ces points, tandis qu’on peut avec ces seuls trois points trouver le morceau de parabole (une ligne courbe de degré 2, de la forme f(x) = ax²+bx+c) qui passe par ces trois points.
Avec 4 points on peut trouver la fonction d’ordre 3 qui les relie, sous la forme f(x) = ax³+bx²+cx+d, et généralement avec (n+1) points disponibles, ont peut les relier par la fonction polynomiale d’ordre n.
On démontre que généralement les fonctions bien “lisses” (continues et dérivables, à opposer aux fonctions qui montreraient des “trous”, ou bien des “coins” ou formes “pointues”), peuvent être approchées au plus près par ces développements d’ordre “n”. Ce qui fait que, inversement, quand on dispose d’une série de points discrets, la meilleure approche pour reconstituer la fonction “lisse” qui les relie est d’adopter un développement de cette forme.
Concernant une monnaie libre, nous disposons de deux éléments pour établir la forme de la masse monétaire “M”. Tout d’abord une série de points discrets au cours du temps “t”, (M/N)(t), dû au fait que le nombre “N” de membres est lui même discret et en variation discrète à la hausse (arrivée de nouveaux membres) comme à la baisse (départ de membres), et une connaissance de sa forme fondamentale pour “N” stable qui est : (M/N)(t) = (M/N)(0) ect.
On appelle “dividende universel” ou “DU” la variation de M/N, qui sous sa forme fondamentale pour N stable est DU(t) = c*(M/N)(t). Comment maintenant trouver une bonne valeur pour le DU dans l’environnement où “N” varie ? La TRM répond à cette question en donnant des pistes “d’ordre 1” et en annonçant que bien d’autres solutions existent, qui sont toutes proches, et doivent toutes avoir pour caractéristique fondamentale de retrouver DU(t) = c*(M/N)(t) pour “N stable”.
Pourquoi ces formulations du DU sont d’ordre 1 ? Parce que la puissance de “c” associée est de 1. Pouvons nous alors trouver des solutions plus “lisses”, qui soient d’ordre 2, d’ordre 3… D’ordre “n” ? Oui tout à fait, et cela peut se faire assez facilement, en partant de la forme fondamentale de M/N. Etant donné que nous avons des données de variations discrètes, et une forme fondamentale connue pour le DU :
- Une collection de (M/N)(t) précédentes avec des N(t) qui varient
- DU(t) = c*(M/N)(t)
Le DU étant la variation de M/N on a aussi (M/N)(t+1) = (M/N)(t) + DU(t), et en multipliant par “c” on obtient : c(M/N)(t+1) = c(M/N)(t) + c*DU(t)
Que l’on peut donc écrire aussi comme DUĞ = DU(t+1) = DU(t) + c*c*(M/N)(t) soit :
Une forme qui est donc un “mix” entre le DU et la valeur de M/N du temps précédent (autrement dit de la dérivée de la fonction et de sa valeur au temps précédent) et qui tient donc compte des variations de “N”, de manière “lisse”.
Comment obtenir un ordre 3 ? En réalisant la différentielle des variations, DU(t+1) – DU(t) = c²(M/N)(t), de l’ordre 2, de manière discrète à gauche de l’équation, et par approximation continue à droite :
[DU(t+1) – DU(t)] – [DU(t) – DU(t-1] = c³(M/N)(t) d’où :
Et ainsi de suite pour les ordres supérieurs, l’ordre “n” étant calculé en tenant compte du fait que la variation de l’ordre précédent sera de la forme cn(M/N)(t), du fait de la forme fondamentale continue de (M/N).
Les formes d’ordre “n” étant supérieures en terme de précision aux formes d’ordre inférieur, il faut toutefois garder en tête, qu’une forme simple est préférable en terme d’explication, de compréhension, et de vérification personnelle simple à faire. Aussi la forme DUĞ d’ordre 2 est sans doute une des meilleures formes possibles dans le sens où c’est la première approximation à proposer une approximation différentielle qui tient compte des variations de N, tout en gardant une forme finalement assez simple et facile à comprendre.
Notamment on doit comprendre immédiatement qu’avec DUĞ le DU suivant est un ajout de “quelque chose de petit” (étant donné que c est “petit” alors c² est “très petit”), qui s’ajoute au le DU précédent.
De manière générale et pour toute fonction, l’ordre 1 sera toujours “grossier”, et consistera à relier des points avec des segments de droite, ce qui est bien moins fin que de les relier avec des valeurs de fonctions dérivables, et il sera même faux et possiblement dangereux dans certains cas (pas tous) de fortes variations de N, plaçant les membres dans une nasse monétaire fortement asymétrique pendant un temps assez long (mais pas éternel non plus… on s’en convaincra au besoin en effectuant quelques simulations numériques).
Quelques possibilités de formulation pour le DU :
- Ordre 1 : DU(t+1) = (1+c) DU(t) (ignorant “N” => forts “sauts” relatif en % M/N)
- Ordre 1 : DU(t+1) = c*(M/N)(t) (ignorant la continuité du DU => forts “sauts” relatif en DU)
- Ordre 1 : DU(t+1) = [(1+c) DU(t) + c*(M/N)(t)] / 2 (un compromis moyen)
- Ordre 2 : DU(t+1) = DU(t) + c²(M/N)(t) (ou DUĞ ou DUĞ2)
- Ordre 3 : DU(t+1) = 2 DU(t) – DU(t-1) + c³(M/N)(t) (ou DUĞ3)
- Ordre 4 : DU(t+1) = 3DU(t) – 3DU(t-1) + DU(t-2) + c⁴(M/N)(t) (ou DUĞ4)
- etc… Une infinité de formes approchées étant possibles
Toutes ces formes étant équivalentes pour “N” stable.
Pour approfondir ce sujet, étudier les coefficients binomiaux ainsi que le développement limité d’une fonction.
