Gödel

Une très bonne vidéo de présentation des théorèmes de Gödel (avec toutefois une assertion sur la fin qui retombe quelque peu dans un réductionnisme contradictoire).

Comme souvent ce qui est tout aussi intéressant que le résultat dans une démonstration de ce calibre (sans aucun doute un sommet, si ce n’est LE sommet des mathématiques du XXème siècle), c’est la méthode. La transformation du langage mathématique portant sur les nombres dans les nombres eux-mêmes, réalisée par Gödel pour ses théorèmes, est fondamentalement ce qui ouvre la voie à Turing, Von Neumann etc. et qui permet le développement de l’informatique, qui est un réductionnisme, où des nombres (le codage du programme) traite d’autres nombres (les données).

Ce qui est intéressant pour aller au delà c’est l’incomplétude des langages conceptuels quels qu’ils soient (cette phrase est-elle démontrable dans un Français qui se voudrait cohérent et qui comporte notamment tout ce qui est nécessaire pour parler de l’arithmétique ?), et la relativité de la notion de cohérence ainsi que de sa négation : l’incohérence (sans doute la plus intéressante !). Je ne m’appesantirai pas ici sur ce point crucial.

A noter la citation dans cette vidéo d’une autre vidéo qui apporte une démonstration du théorème de Gödel très simple à partir du problème de l’arrêt d’un programme informatique, à voir pour compléter. C’est à mon sens la démonstration la plus facile à comprendre en 2016 où la notion de programme informatique est assez bien connue.

De cette démonstration informatique on peut aussi développer et extraire un procédé d’intelligence artificielle qui fera ses gammes sous le nom de l’algorithme alpha-bêta (ou minimax), associé à une fonction d’évaluation, procédé qui permet aux programmes de jeu d’échecs d’être désormais plus forts que les Champions du Monde humains de ce jeu (voir le programme libre Stockfish à ce sujet).

De cette même méthode on peut développer un programme de génération et exploration de preuves mathématiques dont le programme Français Coq est un exemple et qui peut procéder, aux prémisses près, à des développement similaires à ceux ayant été utilisés pour programmer le jeu d’échecs.

Ce qui aurait réjoui Hilbert sans aucun doute, à l’incomplétude près…